Leniwiec.edu.pl

Poćwiczmy na przykładach metody zliczania.

Zad_1
Ile jest sposobów ustawienia w szereg pięciu chłopców i czterech dziewczynek tak, aby:
a) chłopcy i dziewczynki stali na zmianę,
b) pierwszy i drugi stał chłopiec,
c) najpierw stały dziewczynki , a następnie chłopcy,
d) pierwsza stała dziewczynka?
Uwaga do wszystkich takich zdarzeń.
Pomyśl jak możesz to zrealizować - jakie kroki (etapy) prowadzą do celu?

Rozwiązanie.
a) Ustawienie w szeregu tzn. w ciąg. Na miejscach o numerach nieparzystych 1,3,5,7,9 muszą stać chłopcy. Można ich rozstawić na tych miejscach na 5! sposobów. Dziewczynki zajmą miejsca 2,4,6,8 i można je ustawić na 4! sposobów. Mamy więc  wszystkich różnych ustawień.
b) Spośród pięciu chłopców trzeba wybrać dwóch, których ustawimy na pierwszym i drugim miejscu. Wyboru można dokonać na sposoby. Wybrani chłopcy mogą być ustawieni na tych miejscach na 2!=2 sposoby. Pozostałych siedmiu uczniów - na miejscach od trzeciego do dziewiątego - można rozstawić na 7! sposobów. Łącznie mamy sposobów ustawienia,
Zauważmy, że rozwiązanie jest takie samo, gdy chłopcy mają stać na pierwszym miejscu i ostatnim miejscu, na trzecim i na piątym itp.
c) Pierwsze cztery miejsca zajmują dziewczynki na 4! sposobów, a chłopcy miejsca od piątego do dziewiątego na 5! sposobów. Łącznie mamy  sposobów ustawienia.  
d) Dziewczynkę, która stoi pierwsza wybieramy na sposoby. Pozostali uczniowie mogą być, za nią, rozstawieni na 8! sposobów. Ustawienie można zrealizować na sposobów.   

Zad_2
Ile jest liczb trzycyfrowych:
a) parzystych,
b) podzielnych przez 5,
c) o tej samej cyfrze setek i jedności, 
d) większych od 546,
e)  mniejszych od 345?
Uwaga. Cyfry oznaczające setki, dziesiątki i jedności losujemy z podzbiorów zbioru Z={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Rozwiązanie.
a) Cyfrę oznaczającą liczbę setek losujemy ze zbioru {1,2,...,8,9}, czyli na 9 sposobów. Cyfrę dziesiątek losujemy z całego zbioru Z, daje to 10 sposobów. Cyfrę jedności losujemy ze zbioru {0,2,4,6,8} na 5 sposobów.
Trzycyfrowych liczb parzystych jest więc  
b) Tak jak w a) ale cyfrę jedności losujemy ze zbioru {0,5}. Trzycyfrowych liczb podzielnych przez 5 jest  
c) Jeżeli wybierze się cyfrę setek, to już nie wybieramy cyfry jedności - umieszczamy taką samą na końcu - na jeden sposób. Czyli  
d) Oczywiście można to łatwo obliczyć:
Policzymy liczebności rozłącznych zbiorów:
- liczb trzycyfrowych o liczbie setek równej 6 lub więcej jest
- liczb trzycyfrowych większych od 549, ale mniejszych od 600 jest 
- liczb trzycyfrowych większych od 546, ale mniejszych od 550 jest
Razem jest więc liczb.
e) Takich liczb jest Zastosujemy teraz do obliczenia metody kombinatoryki. Liczb trzycyfrowych mających liczbę setek należącą do zbioru {1,2} jest Liczb trzycyfrowych z liczbą setek 3, a liczbą dziesiątek ze zbioru {0,1,2,3} jest  Liczb trzycyfrowych z liczbą setek równą 3, liczbą dzięsiątek 4 i mniejszych od 345 jest 5, liczba jedności może być ze zbioru {0,1,2,3,4}. Zbiory wyżej są rozłączne. Moce dodajemy, więc  

Zad_3
W pudełku znajduje się 5 kul białych i 4 czarne. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 3 kule tak, aby otrzymać:
a) 3 kule czarne,
b) 3 kule białe,
c) dwie kule białe i jedną czarną,
d) co najmniej jedna kulę białą?

Rozwiązanie.
a) Trzy kule trzeba wybrać z czterech, jest sposoby.
b) Trzy kule wybieramy z pięciu, jest sposobów.
c) Dwie kule białe wybieramy z pięciu na sposobów i jedną czarną z czterech na sposobów. Łącznie jest sposobów takiego wyboru.
d) Trzeba dodać liczby sposobów, na które można utworzyć rozłączne zbiory.
 - {1b, 2cz}, który można utworzyć na sposoby,
 - {2b, 1cz}, który można utworzyć na sposoby,
 - {3b, 0cz}, który można utworzyć na sposoby.
Łącznie jest to sposobów.

Zad_4
Rozdanie brydżowe to podział uporządkowany zbioru 52 kart na cztery po 13 kart w każdym,
a) ile jest takich rozdań,
b) ile jest rozdań, w których każdy z czterech graczy otrzymuje jednego asa? 

Rozwiązanie.
a) Takich podziałów jest
Inaczej: z 52 kart wybieramy 13 dla pierwszego gracza na sposobów i 13 kart z pozostałych 39-ciu dla drugiego na sposobów i 13 kart dla trzeciego z pozostałych 26 kart na sposobów. Pozostałe trzynaście otrzymuje czwarty gracz - inaczej mamy wybór 13 z 13 kart na sposób.
Łącznie jest 
sposobów rozdania. Tyle mamy korzystając od razu ze wzoru na liczbę podziałów.
b) Wybieramy z talii 4 asy, można je dać grającym na 4! sposoby. Pozostałe 48 kart można im rozdać na sposobów. Rozdań brydżowych, w których każdy grający ma asa jest więc .

Zad_5
Ile jest rozdań brydżowych, w których wybrany gracz otrzyma:
a) 5 pików, 4 kiery, 3 kara i 1 trefla,
b) 5 kart w jednym kolorze, 4 w innym i w dwóch pozostałych 3 i 1 kartę (układ 5-4-3-1),
c) układ 5-3-3-2,
d) układ 4-4-4-1?

Rozwiązanie.
a) Piki wybieramy na sposobów, kiery na  sposoby, kara na  sposoby i trefle na sposobów. Łącznie mamy więc sposobów rozdania.
b) Kolor 5-kartowy wybieramy na sposobów, kolor 4-kartowy sposobów, kolor 3-kartowy na sposoby. Łącznie jest takich rozdań.
c) Kolor 5-kartowy wybieramy na sposoby, kolory 3-kartowe na sposoby. Łącznie jest rozdań.
d) Kolory 4-kartowe wybieramy na  sposoby. Rozdań jest więc

Zad_6
W Dużym Lotku losowane jest 6 liczb z 49-ciu. Ile jest różnych zakładów z:
a) pięcioma trafieniami,
b) czterema trafieniami,
c) trzema trafieniami.

Rozwiązanie.
a) Zakład musi zawierać pięć liczb z sześciu wybranych i szóstą z pozostałych 43 liczb. Kolejność nie ma znaczenia. Takich zakładów jest więc
b) Z sześciu wybranych, zakład ma zawierać 4 liczby i dwie liczby z pozostałych 43. Liczba takich różnych zakładów
c) takich zakładów jest

Zad_7
Do gry w pokera używa się 32-kartowej talii, zawierającej osiem kart w czterech kolorach. Starszeństwo kart: as(A), król(K), dama(D), walet(W), dziesiątka(10), dziewiątka(9), ósemka(8), siódemka(7). Grający w jednym rozdaniu otrzymują po pięć kart.
Ile układów kart w pokerze to:  
a) full - trzy karty tej samej wysokości i dwie karty innej,
b) dwie pary - dwie karty tej samej wysokości, dwie innej i ostatnia karta jeszcze innej,
c) kareta - cztery karty tej samej wysokości i jedna dowolna z pozostałych,
d) kolor - pięć kart w jednym kolorze, ale nie wszystkie kolejno,
e) strit - sekwens, ale nie w jednym kolorze.

Rozwiązanie.
a) Kolejność jest istotna bo np. full DD888 jest inny niż DDD88. Jest osiem kart o różnej wysokości. Wysokość kart trójki można wybrać na sposobów, a wysokość karty dla pary na sposobów. Trzy karty trójki można dalej wybrać na sposoby, a karty pary na sposobów. Różnych fulli jest więc   
b) Kolejność par nie ma znaczenia. Z ośmiu wysokości wybieramy dwie na sposobów. Dwie karty każdej pary wybieramy na sposobów. Piątą kartę wybieramy z pozostałych kart. Różnych układów po dwie pary jest więc
c) Wysokość kart karety wybieramy na sposobów. Piątą kartę wybieramy z kart. Układów karety jest więc
d) Kolor wybieramy na cztery sposoby, a pięć kart z ośmiu w danym kolorze można wybrać na sposobów. Od tej liczby trzeba odjąć cztery układy, w których karty tworzą sekwens (są to pokery).
                           (7,8,9,10,W), (8,9,10,W,D), (9,10,W,D,K), (10,W,D,K,A).
Układów z kolorem jest więc   
e) Sekwensów różniących się najmłodszą kartą jest cztery i każdą z pięciu kart sekwensu można wybrać na cztery sposoby. Różnych sekwensów jest