Leniwiec.edu.pl

W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych!

Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem.
Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). 










Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach  
Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. 

Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią.
Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ?
Oczywiście  to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie
Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi
Jest to - oczywiście, zaszły równocześnie zdarzenia .

Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. 

.
No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem.

Podsumujmy krótko.

• zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół,
• krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół,
• węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia,
• gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie,
• prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa.

Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu
Oznaczamy zdarzenia:
A - na kostce wypadło 6 oczek,
A' - na kostce nie wypadło 6 oczek,
B - wyciągnięto kulę białą,
B' = C - wyciągnięto kule czarną.

,

lub inaczej

Jeszcze jeden przykład
W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna?

Urna przed losowaniem: 

Oznaczamy zdarzenia:
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną.