Leniwiec.edu.pl

Strona główna Kontakt Forum Disclaimer
 
Na skróty

Artukuły

O Leniwcach
Strona główna arrow Ciekawostki naukowe arrow Sławne i piękne liczby
Sławne i piękne liczby Drukuj Email

Liczby naturalne

Są to najprostsze znane nam liczby, które stworzył człowiek do przeliczania przedmiotów, chociaż wybitny matematyk Leopold Kronecker (1823 - 1891) uważał, że „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka”.

Zbiór liczb naturalnych Formula oznaczamy przez Formula Zaliczanie zera do liczb naturalnych jest kwestią umowy. W literaturze częściej przyjmuje się, że ciąg liczb naturalnych zaczyna się od 1.
Zbiór Formula oznaczać będziemy Formula

  • W zbiorze liczb naturalnych i w każdym jego podzbiorze istnieje liczba najmniejsza.
  • Ciąg liczb naturalnych nie kończy się. Po każdej liczbie naturalnej Formula istnieje następna liczba Formula Wynika stąd, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zbiór Formula to najprostsza nieskończoność matematyczna, najprostszy przykład zbioru nieskończonego.
  • W zbiorze Formula naturalnymi działaniami arytmetycznymi są dodawanie i mnożenie – wykonanie tych działań na liczbach naturalnych nie wyprowadza poza ten zbiór. Liczby Formula i Formulaelementami neutralnymi tych działań. Oznacza to, że dla dowolnego Formula zachodzą równości
    Formula czyli Formula to element neutralny mnożenia,
    Formula czyli Formula to element neutralny dodawania.
    Działanie Formula i Formula na dowolną liczbę naturalną niczego nie zmienia, pozostawia ją taką samą.
    Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami w zbiorze Formula np. Formula Formula


 

Liczby pierwsze i liczby złożone

Liczbę naturalną Formula nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli ma tylko dwa dzielniki: Formula i samą siebie, czyli jest niepodzielna przez żadną liczbę od niej mniejszą, prócz Formula

W przeciwnym przypadku liczbę nazywamy złożoną.

Początkowe liczby pierwsze to: Formula Liczba Formula nie jest liczbą pierwszą. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest Formula Już Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Można je ponumerować(ustawić w ciąg rosnący), a więc ich zbiór jest przeliczalny i tej samej mocy co zbiór Formula

Liczby pierwsze są ważne z tego powodu, że stanowią elementy („cegiełki”), z których zbudowane są wszystkie liczby naturalne za pomocą mnożenia. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych i to jednoznacznie z dokładnością do kolejności czynników. Zapis liczby złożonej jako iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem lub rozwinięciem na czynniki pierwsze, np.

Formula

Formula

Jest wiele ciekawych twierdzeń i hipotez dotyczących liczb pierwszych, a szczególnie ich rozmieszczenia. Oto kilka z nich:

  • Twierdzenie Czebyszewa
    Jeżeli Formula jest liczbą naturalną większą od 1, to między Formula i Formula leży co najmniej jedna liczba pierwsza
  • Hipoteza Goldbacha
    Każda liczba parzysta naturalna większa od 4 może być zapisana jako suma dwóch liczb pierwszych nieparzystych
  • Liczby pierwsze Formula i Formula nazywamy liczbami pierwszymi bliźniaczymi, np. 3 i 5, 11 i 13, 17 i 19, ..., 4967 i 4969. Znaleziono pary liczb bliźniaczych, z których każda jest ogromna, ale nie wiadomo czy jest ich nieskończenie wiele.
  • W ciągu liczb pierwszych mogą występować bardzo długie przerwy, tak długie, jak sobie z góry zadamy, np. przerwa obejmująca milion kolejnych liczb.
  • Liczbami Mersenne’a nazywamy liczby postaci

    Formula

    Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne’a. „Rekordzistki” wśród największych znanych liczb pierwszych są liczbami Mersenne’a.
    Formula   ma 7235733 cyfr (rok 2004),
    Formula   ma 7819230 cyfr (rok 2005),
    Formula   ma 9152052 cyfr (rok 2005).
    Oceń czy wystarczy 4 tys. stron, aby wydrukować ostatnią z nich.
  • Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci  

    Formula

    Liczby Fermata Formula są pierwsze.
    Fermat był przekonany, że wszystkie liczby Formula są pierwsze. Okazało się jednak, że już Formula takie nie jest.
    Wiadomo, że liczby Fermata Formulasą złożone dla Formula Przypuszcza się, że jest skończona liczba liczb pierwszych Fermata, być może pierwszymi sa tylko wypisane wyżej.
    Liczby Fermata to ciekawe i ważne liczby, a szczególnie te z nich które są pierwsze.
  • Ważnym zagadnieniem związanym z liczbami pierwszymi jest problem ilości liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej Formula Związane z tym jest twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych.
    Jeżeli przez Formula oznaczymy ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych liczbie Formula to dla bardzo dużych Formula

    Formula

    gdzie Formula jest logarytmem naturalnym (przy podstawie Formula) liczby Formula
     

Liczby doskonałe 

Liczbę nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich mniejszych od niej liczb, które dzialą ją bez reszty.
Najmniejsze liczby doskonałe:
  • (p = 2) 6 = 1 + 2 + 3
  • (p = 3) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 
  • (p = 5) 496
  • (p = 7) 8128

Liczby doskonałe parzyste (nieparzystych nie znamy) daje wzór

Formula

gdzie Formula jest liczbą pierwszą i liczba Formula  jest też pierwsza - jest to liczba Mersenne'a.

 

Liczby algebraiczne 

Liczby kardynalne 

Liczby porządkowe

Liczby przestępne 

Liczba Formula

Liczba Formula

 

 
« poprzedni artykuł   następny artykuł »
 

ciąg   einstein   elementów   fizyki   funkcji   jeden   kart   liczba   liczby   mechaniki   pierwsze   postaci   prawdopodobieństwo   równania   suma   teorii   wzór   zbiór   zdarzenia   zdarzenie         

Created with AkoCloud 1.1 final.

Login Form






Nie pamiętam hasła
Konto? Zarejestruj się!