Leniwiec.edu.pl

Liczby naturalne

Są to najprostsze znane nam liczby, które stworzył człowiek do przeliczania przedmiotów, chociaż wybitny matematyk Leopold Kronecker (1823 - 1891) uważał, że „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka”.

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez Zaliczanie zera do liczb naturalnych jest kwestią umowy. W literaturze częściej przyjmuje się, że ciąg liczb naturalnych zaczyna się od 1.
Zbiór oznaczać będziemy

• W zbiorze liczb naturalnych i w każdym jego podzbiorze istnieje liczba najmniejsza.
• Ciąg liczb naturalnych nie kończy się. Po każdej liczbie naturalnej istnieje następna liczba Wynika stąd, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zbiór to najprostsza nieskończoność matematyczna, najprostszy przykład zbioru nieskończonego.
• W zbiorze naturalnymi działaniami arytmetycznymi są dodawanie i mnożenie – wykonanie tych działań na liczbach naturalnych nie wyprowadza poza ten zbiór. Liczby i są elementami neutralnymi tych działań. Oznacza to, że dla dowolnego zachodzą równości
   czyli to element neutralny mnożenia,
   czyli to element neutralny dodawania.
  Działanie i na dowolną liczbę naturalną niczego nie zmienia, pozostawia ją taką samą.
  Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami w zbiorze np.

Liczby pierwsze i liczby złożone

Liczbę naturalną nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli ma tylko dwa dzielniki: i samą siebie, czyli jest niepodzielna przez żadną liczbę od niej mniejszą, prócz

W przeciwnym przypadku liczbę nazywamy złożoną.

Początkowe liczby pierwsze to: Liczba nie jest liczbą pierwszą. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest Już Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Można je ponumerować(ustawić w ciąg rosnący), a więc ich zbiór jest przeliczalny i tej samej mocy co zbiór

Liczby pierwsze są ważne z tego powodu, że stanowią elementy („cegiełki”), z których zbudowane są wszystkie liczby naturalne za pomocą mnożenia. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych i to jednoznacznie z dokładnością do kolejności czynników. Zapis liczby złożonej jako iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem lub rozwinięciem na czynniki pierwsze, np.

Jest wiele ciekawych twierdzeń i hipotez dotyczących liczb pierwszych, a szczególnie ich rozmieszczenia. Oto kilka z nich:

• Twierdzenie Czebyszewa
  Jeżeli jest liczbą naturalną większą od 1, to między i leży co najmniej jedna liczba pierwsza
• Hipoteza Goldbacha
  Każda liczba parzysta naturalna większa od 4 może być zapisana jako suma dwóch liczb pierwszych nieparzystych
• Liczby pierwsze i nazywamy liczbami pierwszymi bliźniaczymi, np. 3 i 5, 11 i 13, 17 i 19, ..., 4967 i 4969. Znaleziono pary liczb bliźniaczych, z których każda jest ogromna, ale nie wiadomo czy jest ich nieskończenie wiele.
• W ciągu liczb pierwszych mogą występować bardzo długie przerwy, tak długie, jak sobie z góry zadamy, np. przerwa obejmująca milion kolejnych liczb.
• Liczbami Mersenne’a nazywamy liczby postaci

  

  Przypuszcza się, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne’a. „Rekordzistki” wśród największych znanych liczb pierwszych są liczbami Mersenne’a.
     ma 7235733 cyfr (rok 2004),
     ma 7819230 cyfr (rok 2005),
     ma 9152052 cyfr (rok 2005).
  Oceń czy wystarczy 4 tys. stron, aby wydrukować ostatnią z nich.
• Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci  

  

  Liczby Fermata  są pierwsze.
  Fermat był przekonany, że wszystkie liczby są pierwsze. Okazało się jednak, że już takie nie jest.
  Wiadomo, że liczby Fermata są złożone dla Przypuszcza się, że jest skończona liczba liczb pierwszych Fermata, być może pierwszymi sa tylko wypisane wyżej.
  Liczby Fermata to ciekawe i ważne liczby, a szczególnie te z nich które są pierwsze.
• Ważnym zagadnieniem związanym z liczbami pierwszymi jest problem ilości liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej Związane z tym jest twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych.
  Jeżeli przez oznaczymy ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych liczbie to dla bardzo dużych

  

  gdzie jest logarytmem naturalnym (przy podstawie ) liczby
   

Liczby doskonałe 

• (p = 2) 6 = 1 + 2 + 3
• (p = 3) 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 
• (p = 5) 496
• (p = 7) 8128

Liczby doskonałe parzyste (nieparzystych nie znamy) daje wzór

gdzie jest liczbą pierwszą i liczba   jest też pierwsza - jest to liczba Mersenne'a.