Leniwiec.edu.pl

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego - oprócz pierwszego - otrzymujemy dodając do poprzedniego tą samą liczbę .
Liczbę nazywa się różnicą ciągu.

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

Ciąg arytmetyczny jest określony, jeżeli znamy jego wyraz pierwszy i różnicę . Wtedy:

...

Otrzymaliśmy wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Własności ciągu arytmetycznego

• Monotoniczność - ciąg arytmetyczny jest:
  

  - rosnący, gdy

  - stały, gdy

  - malejący, gdy

• Jeżeli jest ciągiem arytmetycznym, to dla każdej trójki kolejnych wyrazów ciągu

  

  zachodzi równość

  

  która oznacza, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiadujących - stąd nazwa ciągu.
  

Suma skończonej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

Przez oznaczamy sumę kolejnych wyrazów ciągu zaczynając od wyrazu pierwszego

Łatwo jest pokazać, że

Piszemy

O pewnych ciągach arytmetycznych (i innych)

• Kolejne liczby naturlane 1,2,3, ... , , ... tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1,  
  Ze wzoru na otrzymujemy:

  

  czyli wzór na sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do . Suma taka pojawia się często nie tylko w matematyce, czy fizyce.
• Weźmy sumę kolejnych liczb nieparzystych

  

  oczywiście

  

• W 1837r Lejeune Dirichlet udowodnił bardzo ważne, klasyczne twierdzenie o postępie arytmetycznym

              Np. każdy z poniższych ciągów zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych:
                1.
                2.
                3.

• Jeszcze o sumach ciągów, które nie są ciągami arytmetycznymi
  1. suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do

  

  
  2. suma sześcianów kolejnych liczb naturalnych od 1 do

  

  
  Takie sumy pojawiają się często w fizyce i różnych działach matematyki. Warto więc pamiętać wyrażające je wzory: