|
Popatrzmy teraz na zadania z matur 2006 i 2007 oraz na kilka wybranych zadań z propozycji drukowanych w ostatnich dwóch latach w "Gazecie Wyborczej" i "Dzienniku". Zwróćcie uwagę na to, że są to zadania łatwe, dla tych, którzy znają i rozumieją podane w części teoretycznej wzory.
Zad_1 matura - maj 2006, poziom podstawowy, 4 pkt
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny, w którym 
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz  dla każdej liczby naturalnej 
c) Oblicz wyraz 
Rozwiązanie.
Wyznaczamy iloraz ciągu:  i po podzieleniu stronami 
Stąd  lub  Dany ciąg jest rosnący, a więc musi być  i trzeba wziąć tylko 
Wzór na wyraz ogólny ciągu: 
Obliczam  
Zad_2 matura - maj 2007, poziom podstawowy, 5 pkt
Dany jest ciąg arytmetyczny  gdzie Wiadomo, że dla każdego  suma  początkowyh wyrazów  wyraża się wzorem: 
a) Wyznacz wzór na -ty wyraz tego ciągu.
b) Oblicz 
c) Wyznacz liczbę  dla której 
Rozwiązanie.
Wyznaczamy wzór na wyraz ogólny ciągu: 
i stąd 
Obliczamy 
Obliczamy, który z wyrazów ciągu jest równy zero:  stąd  Siódmy wyraz ciągu ma wartość zero.
Zad_3 matura - maj 2007, poziom rozszerzony, 4 pkt
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego  wyraża się wzorem  dla
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: 
b) Oblicz 
Rozwiązanie.
Wyznaczam wyraz pierwszy i różnicę ciągu  
i stąd 
W ciągu arytmetycznym  różnica  , a wyraz pierwszy  równa się 7, ostatni  Wyrazów jest 50, więc ich suma wynosi 
Obliczam granicę ciągu 
Zad_4 matura - listopad 2006, poziom rozszerzony, 5 pkt
Ciąg liczbowy jest okreslony dla każdej liczby naturalnej wzorem  gdzie 
a) Wykaż, że dla każdej wartości  ciąg jest arytmetyczny.
b) Dla  oblicz sumę 
c) Wyznacz wszystkie wartości  dla których ciąg  określony wzorem  jest stały.
Rozwiązanie
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, gdyż jego różnica 
jest stała dla wszystkich (patrz definicja rekurencyjna).
Oblicam sumę  gdy  Potrzebne dane:
- wyraz pierwszy 
- różnica ciągu 
Ciąg jest określony wyrazem ogólnym 
 jest stałe, niezależne od gdy 
Rozwiązujemy równianie:
Ciąg jest stały dla  lub 
Zad_5 poziom rozszerzony, zadanie przykładowe - 4 pkt
Wykazać, że jeżeli ciąg jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg o wyrazie ogólnym określonym wzorem  też jest ciągiem arytmetycznym.
Rozwiązanie
Ciąg jest arytmetyczny, a więc - z definicji rekurencyjnej - różnica  jest stała dla każdego Dla ciągu mamy: 
Różnica ciągu wynosi  i jest stała dla każdego  więc z definicji rekurencyjnej wynika, że jest to ciąg arytmetyczny.
Zad_6 poziom podstawowoy, zadanie przykładowe - 6 pkt
Liczby  są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych. Oblicz 
Rozwiązanie
Podane liczby tworzą ciąg geometryczny, a więc z tego, że dla każdego  zachodzi  wynika równanie: 
Po uporządkowaniu dostajemy równianie stopnia trzeciego na 
Jego całkowitymi pierwiastkami mogą być tylko liczby  lub  ale tylko  jest pierwiastkiem powyższego równania, bo 
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń, wypiszmy kolejne liczby ciągu.
Są to  więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie 
|
Matematyka 
