Leniwiec.edu.pl

Popatrzmy teraz na zadania z matur 2006 i 2007 oraz na kilka wybranych zadań z propozycji drukowanych w ostatnich dwóch latach w "Gazecie Wyborczej" i "Dzienniku". Zwróćcie uwagę na to, że są to zadania łatwe, dla tych, którzy znają i rozumieją podane w części teoretycznej wzory.

Zad_1 matura - maj 2006, poziom podstawowy, 4 pkt
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny, w którym

a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz dla każdej liczby naturalnej
c) Oblicz wyraz

Rozwiązanie.
Wyznaczamy iloraz ciągu: i po podzieleniu stronami

Zad_2 matura - maj 2007, poziom podstawowy, 5 pkt
Dany jest ciąg arytmetyczny gdzie Wiadomo, że dla każdego suma początkowyh wyrazów wyraża się wzorem:

a) Wyznacz wzór na -ty wyraz tego ciągu.
b) Oblicz
c) Wyznacz liczbę dla której

Rozwiązanie.
Wyznaczamy wzór na wyraz ogólny ciągu:

Zad_3 matura - maj 2007, poziom rozszerzony, 4 pkt
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem dla

a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
b) Oblicz

Rozwiązanie.
Wyznaczam wyraz pierwszy i różnicę ciągu

Zad_4 matura - listopad 2006, poziom rozszerzony, 5 pkt
Ciąg liczbowy jest okreslony dla każdej liczby naturalnej wzorem gdzie
a) Wykaż, że dla każdej wartości ciąg jest arytmetyczny.
b) Dla oblicz sumę
c) Wyznacz wszystkie wartości dla których ciąg określony wzorem jest stały.

Rozwiązanie
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, gdyż jego różnica 

Zad_5 poziom rozszerzony, zadanie przykładowe - 4 pkt
Wykazać, że jeżeli ciąg jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg o wyrazie ogólnym określonym wzorem też jest ciągiem arytmetycznym.

Rozwiązanie
Ciąg jest arytmetyczny, a więc - z definicji rekurencyjnej - różnica jest stała dla każdego Dla ciągu mamy:

Zad_6 poziom podstawowoy, zadanie przykładowe - 6 pkt
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych. Oblicz  

Rozwiązanie
Podane liczby tworzą ciąg geometryczny, a więc z tego, że dla każdego  zachodzi  wynika równanie:

Po uporządkowaniu dostajemy równianie stopnia trzeciego na

Jego całkowitymi pierwiastkami mogą być tylko liczby lub  ale tylko jest pierwiastkiem powyższego równania, bo

 W celu sprawdzenia poprawności obliczeń, wypiszmy kolejne liczby ciągu.
Są to więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie