Leniwiec.edu.pl

Zamiast przedstawionej powyżej nieskończonej sumy, stosuje się też symbol

...

...

Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych danego szeregu.

Piszemy wtedy

nadając w ten sposób sens liczbowy symbolowi 

Jeżeli suma jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, w przeciwnym razie (gdy suma jest równa lub granica wcale nie istnieje) nazywamy go rozbieżnym. 

Najprostszym przykładem szeregu nieskończonego jest szereg geometryczny

Zadania, w których pojawia się szereg geometyczny bardzo często pojawiały się na maturach, dlatego ich przykłady znajdziecie poniżej.

Zad_1
Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie
Lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym, w którym i ma sens liczbowy, gdy tzn dla
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór jest to dziedzina danej nierówności. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, dla należących do dziedziny, mamy nierówność

czyli

która jest równoważna nierówności 

Rozwiązaniem początkowej nierówności są takie wartości  które spełniają ostatnią nierówność i należą do dziedziny.
Po obliczeniach otrzymujemy odpowiedź

Zad_2
Rozwiąż równanie

Rozwiązanie
Przestawiając wyrazy i zmieniając kolejność sumowania, lewą strone zapisujemy w postaci

Licznik ułamka zeruje się dla i  Z nich tylko należy do dziedziny równania, jest więc rozwiązaniem równania.

Uwaga. Przyjęliśmy, że można przestawiać i grupować wyrazy szeregu - można to robić tylko dla szeregów bezwzględnie zbieżnych!