Leniwiec.edu.pl

Mo¿na chyba powiedzieæ, ¿e jest to najwa¿niejsza "szkolna" funkcja.

Przypominamy wzory na:

• kwadrat sumy (ró¿nicy) dwóch wyra¿eñ

  

  
  
• ró¿nica kwadratów dwóch wyra¿eñ

  

   

Zamiast pisze siê czê¶ciej czyli  

Postaæ kanoniczna trójmianu kwadratowego

Wyra¿enie nazywamy postaci± ogóln± trójmianu, a postaæ postaci± kanoniczn± trójmianu kwadratowego.

Sprowadzimy - nie korzystaj±c z tego wzoru - do postaci kanonicznej trójmian
Kolejne kroki postêpowania:

  1. Uzupe³niamy dwa pierwsze wyrazy  do pe³nego kwadratu. Wspó³czynnik liczbowy przy w drugim sk³adniku dzielimy przez 2 i podnosimy wynik do kwadratu Jest to liczba, któr± trzeba dodaæ i odj±æ, aby nie zmieni³a siê warto¶æ wyra¿enia, czyli w tym przypadku 

  2. Pierwsze trzy wyrazy zapisujemy teraz w postaci kwadratu sumy 

Jeszcze kilka przyk³adów:
 

 


             

Jeste¶my przygotowani, aby wyprowadziæ podany wy¿ej wzór.

Pierwiastki trójmianu kwadratowego

Trzeba rozwi±zaæ równanie kwadratowe

Trójmian przedstawiamy w postaci kanonicznej

i po podzieleniu przez otrzymujemy

• Je¿eli to mo¿emy napisaæ jako  i wtedy lewa strona równania jest ró¿nic± kwadratów dwóch wyra¿eñ

  

  co zapisujemy dalej nastêpuj±co:

  

  

  Wprowadzamy oznaczenia:

  

  

  Ostatnia równo¶æ ma wtedy postaæ

  

  Lewa strona jest równa zero dla lub dla mamy wiêc pierwiastki równania kwadratowego (gdy
  
  
• Je¿eli to wyra¿enie i lewa strona równania (*) jest dodatnia dla ka¿dego Równanie nie ma wtedy rozwi±zañ rzeczywistych. 

  Równanie kwadratowe
   - ma dwa ró¿ne pierwiastki
  gdy
   - ma jeden pierwiastek
  gdy
   - nie ma rozwi±zañ w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy

Pierwiastki trójmianu kwadratowego s± miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

Wzory Viete'a

Je¿eli trójmian kwadratowy ma pierwiastki, czyli  to ³atwo pokazaæ prostym rachunkiem, ¿e:

Ze wzorów tych mo¿emy okre¶liæ znaki pierwiastków nie rozwi±zuj±c równania.

Je¿eli:

• to pierwiastki maj± ró¿ne znaki,
•   oraz   to oba pierwiastki s± dodatnie,
•   oraz   to oba pierwiastki s± ujemne.

Mo¿na te¿ obliczyæ warto¶ci pewnych wyra¿eñ zawieraj±cych pierwiastki równania kwadratowego, nie rozwi±zuj±c równania. Np.

•  suma kwadratów pierwiastków

  

  

• suma odwrotno¶ci pierwiastków

  

• suma odwrotno¶ci sze¶cianów pierwiastków

  

  

  

  

Rozk³ad trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe, postaæ iloczynowa trójmianu

Korzystaj±c z wyników z punktu o pierwiastkach trójmianu otrzymujemy:

W³asno¶ci funkcji kwadratowej - wykres funkcji

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Szczególne punkty wykresu:

• wierzcho³ek w punkcie o wspó³rzêdnych:

  

• parabola przecina o¶ OY w punkcie (0,c),
• je¿eli to parabola przecina o¶ OX w punktach gdzie s± pierwiastkami wielomianu,
• parabola nie ma punktów wspólnych z osi± OX, je¿eli  a gdy wykres jest styczny do osi OX w punkcie 

Wykres jest symetryczny wzglêdem prostej przechodz±cej przez wierzcho³ek i równoleg³ej do osi OY, inaczej  - osi± symetrii wykresu jest prosta o równaniu

Korzystaj±c z postaci kanoniczenj wielomianu kwadratowego, wzór funkcji kwadratowej mo¿na napisaæ tak:

Monotoniczno¶æ i ekstrema - zbyt oczywiste.