Liczbami całkowitymi nazywamy liczby ciągu naturalnego 0, 1, 2, 3, ... i liczby ujemne - 1, - 2, - 3, ....
Standardowo - w literaturze matematycznej - zbiór liczb całkowitych oznacza się literą 
, w polskiej szkole literą 
.
Zbiór naturalnych 
jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych 
Elementy zbioru można ustawić w ciąg nieskończony 0 , - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, ..., a więc jest to zbiór przeliczalny, takiej samej mocy jak zbiór 
Rozkład liczb całkowitych na osi liczbowej...
Podstawowe pojęcia i twierdzenia
- Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych
i 
jest liczbą całkowitą. W zbiorze wykonalne są więc działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Wynik dzielenia przez 
może być liczbą całkowitą albo niecałkowitą.
- Jeżeli wynik dzielenia przez jest liczbą całkowitą
to mamy 
Mówimy wtedy, że:
- dzieli się przez lub jest wielokrotnością 
- jest dzielnikiem 
Fakt ten zapisujemy krótko:
- Twierdzenie o dzieleniu z resztą
Dla dowolnych liczb całkowitych i istnieją jednoznacznie określone liczby całkowite 
i 
takie, że zachodzi
Liczbę
nazywamy ilorazem, a liczbę resztą z dzielenia przez 
Zwróć uwagę na to, że reszta jest liczbą nieujemną.
Np. niech
- Liczba parzysta to taka, która dzieli się przez 2. W takim razie jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci
gdzie 
Zero jest liczbą parzystą.
Liczba jest nieparzysta, jeżeli przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1. Ma więc postać
gdzie
Liczby całkowite można rozbić na dwa zbiory (klasy):
- { ..., - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, ...} - liczby parzyste, te które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 0,
- { ..., - 5, - 3, - 1, 0, 1, 3, 5, ...} - liczby nieparzyste, te które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1.
Jest to rozbicie zbioru na klasy reszt modulo 2. O liczbach tych klas mówimy, że przystają według modulo 2. Przyjmując jako moduł inną liczbę naturalną 
możemy rozbić zbiór na klasy reszt według tego modułu.
Np. dla m = 3:
- { ..., - 6, - 3, 0 , 3, 6, ...} - liczby postaci
- { ..., - 5, - 2, 1, 4, 7, ...} - liczby postaci
- { ..., - 4, - 1, 2, 5, 8, ...} - liczby postaci
- Każda liczba całkowita dodatnia, która dzieli jednocześnie liczby całkowite
nazywa się ich wspólnym dzielnikiem. Największa z takich liczb nazywa się największym wspólnym dzielnikiem i oznacza się symbolem NWD(a, b, ..., k) lub (a, b, ..., k). Dalej będziemy zajmować się wspólnymi dzielnikami dwóch liczb.
Zauważmy, że NWD(a, b) = NWD(|a|, b) = NWD(a, |b|) = NWD(|a|, |b|).
Jeżeli NWD(a, b) = 1 to i nazywamy względnie pierwszymi, np. względnie pierwsze są pary 3 i 10, 21 i 8, ..., ale nie są względnie pierwsze 34 i 51, bo mają wspólny dzielnik równy 17. Oczywiście, jeżeli to NWD(a, b) = b, np. NWD(6, 18) = 6.
Jeżeli
to zbiór wspólnych dzielników liczb i pokrywa się ze zbiorem wspólnych dzielników liczb i 
W szczególności
NWD(a, b) = NWD(b, c).
Z tego twierdzenia korzysta procedura znajdowania NWD zwana algorytmem Euklidesa. Dla małych liczb można łatwo odgadnąć ich największy wspólny dzielnik.
Np. NWD(12 ,8) = 4, NWD(6 ,15) = 3, NWD(21 ,8) = 1.
Dla większych liczb można szukać NWD rozkładając dane liczby na czynniki.
Np.
i na tej podstawie
Dla dużych liczb lepiej posłużyc się podanym wyżej twierdzeniem. Zacznijmy od ostatniego przykładu:
NWD(360, 132) = NWD(132 , 96), bo
NWD(132 , 96) = NWD(96 , 36), bo
NWD(96 , 36) = NWD(36 , 24), bo
NWD(36 , 24) = NWD(24 , 12), bo
NWD(24 , 12)= 12,
Jeszcze jeden przykład. Znajdź NWD(- 548 ,244).
NWD(- 548 ,244) = NWD(548 , 244) = NWD(244, 60), bo
NWD(244, 60) = NWD(60, 4), bo
NWD(60, 4) = 4, bo
- Liczbę całkowitą, która jest podzielna przez każdą z liczb naturalnych nazywamy wspólną wielokrotnością tych liczb. Najmniejszą liczbą naturalną, która jest wspólną wielokrotnością nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczamy NWW(a, b, ..., k) lub [a, b, ..., k]. Dalej organiczamy się do NWW dla dwóch liczb.
Dla liczb
i 
- Pomiędzy NWD i NWW zachodzi następujący związek
Dla dowolnych liczb całkowitych
i
Znając NWD można znaleźć NWW lub odwrotnie.
Na jednej z wczesnych olimpia matematycznych było takie zadanie.
Zad. Znaleźć dwie liczby naturalne i mając ich największy wspólny podzielnik 
oraz najmniejszą wspólną wielokrotność 
Podać sposób poszukiwania rozwiązań w przypadku ogólnym.
Rozwiązanie.
Jeżeli zastosujemy podane twierdzenie, to rozwiązanie jest natychmiastowe. Szukane liczby są postaci 
i 
gdzie 
i nie mają różnych od 1 dzielników, są względem siebie pierwsze.
Według podanego twierdzenia 
Stąd 
Mamy więc dwa rozwiązania: 
albo 
Szukanymi liczbami są 
i 
albo 
i 