Można chyba powiedzieć, że jest to najważniejsza "szkolna" funkcja.

Przypominamy wzory na:

• kwadrat sumy (różnicy) dwóch wyrażeń

  

  
  
• różnica kwadratów dwóch wyrażeń

  

   

Zamiast pisze się częściej czyli  

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Wyrażenie nazywamy postacią ogólną trójmianu, a postać postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego.

Sprowadzimy - nie korzystając z tego wzoru - do postaci kanonicznej trójmian
Kolejne kroki postępowania:

  1. Uzupełniamy dwa pierwsze wyrazy  do pełnego kwadratu. Współczynnik liczbowy przy w drugim składniku dzielimy przez 2 i podnosimy wynik do kwadratu Jest to liczba, którą trzeba dodać i odjąć, aby nie zmieniła się wartość wyrażenia, czyli w tym przypadku 

  2. Pierwsze trzy wyrazy zapisujemy teraz w postaci kwadratu sumy 

Jeszcze kilka przykładów:
 

 


             

Jesteśmy przygotowani, aby wyprowadzić podany wyżej wzór.

Pierwiastki trójmianu kwadratowego

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe

Trójmian przedstawiamy w postaci kanonicznej

i po podzieleniu przez otrzymujemy

• Jeżeli to możemy napisać jako  i wtedy lewa strona równania jest różnicą kwadratów dwóch wyrażeń

  

  co zapisujemy dalej następująco:

  

  

  Wprowadzamy oznaczenia:

  

  

  Ostatnia równość ma wtedy postać

  

  Lewa strona jest równa zero dla lub dla mamy więc pierwiastki równania kwadratowego (gdy
  
  
• Jeżeli to wyrażenie i lewa strona równania (*) jest dodatnia dla każdego Równanie nie ma wtedy rozwiązań rzeczywistych. 

  Równanie kwadratowe
   - ma dwa różne pierwiastki
  gdy
   - ma jeden pierwiastek
  gdy
   - nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy

Pierwiastki trójmianu kwadratowego są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

Wzory Viete'a

Jeżeli trójmian kwadratowy ma pierwiastki, czyli  to łatwo pokazać prostym rachunkiem, że:

Ze wzorów tych możemy określić znaki pierwiastków nie rozwiązując równania.

Jeżeli:

• to pierwiastki mają różne znaki,
•   oraz   to oba pierwiastki są dodatnie,
•   oraz   to oba pierwiastki są ujemne.

Można też obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego, nie rozwiązując równania. Np.

•  suma kwadratów pierwiastków

  

  

• suma odwrotności pierwiastków

  

• suma odwrotności sześcianów pierwiastków

  

  

  

  

Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe, postać iloczynowa trójmianu

Korzystając z wyników z punktu o pierwiastkach trójmianu otrzymujemy:

Własności funkcji kwadratowej - wykres funkcji

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Szczególne punkty wykresu:

• wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

  

• parabola przecina oś OY w punkcie (0,c),
• jeżeli to parabola przecina oś OX w punktach gdzie są pierwiastkami wielomianu,
• parabola nie ma punktów wspólnych z osią OX, jeżeli  a gdy wykres jest styczny do osi OX w punkcie 

Wykres jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek i równoległej do osi OY, inaczej  - osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu

Korzystając z postaci kanoniczenj wielomianu kwadratowego, wzór funkcji kwadratowej można napisać tak:

Monotoniczność i ekstrema - zbyt oczywiste.